INNOWACJA

Zadanie 1

Udowodnij:

Jeżeli w trójkącie sześciokrotnie wydłużymy jego podstawę i dwukrotnie skrócimy jego wysokość opuszczoną na tę podstawę, to pole trójkąta zwiększy się trzykrotnie.

P1=a*h/2   P2=( a*6) *(h:2)/2= 3*a*h/2= 3P1, c.n.w.

Zadanie 2

     Uzasadnij, że jeśli liczba jest podzielna przez 15 i przez 14, to jest podzielna przez  10.

Jeżeli liczba x dzieli się przez 14  to:

x = 14·n = 2·7·n      czyli x dzieli się przez 2, przy założeniu że n to wielokrotność 14,

Jeżeli liczba x dzieli się przez 15 to:

x = 15·m = 3·5·m    czyli x dzieli się przez 5, przy założeniu że m to wielokrotność 15,
skoro x dzieli się przez 2 i 5, czyli dzieli się przez 10.

Zadanie 3

1   Uzasadnij, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych,  nieparzystych jest liczbą nieparzystą.

2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 = 6n + 9
6n + 9 = 6n + 8 + 1 = 2(3n + 4) + 1 – nieparzysta

c.n.w.

Zadanie 4

Wykaż, że liczba:

7¹⁵+7¹⁶+7¹⁷ jest podzielna przez 19.

7¹⁵+7¹⁶+7^{17   =}

Zadanie 5

Wykaż, że liczba:

5²¹+5²²+5²³+ 5²⁴ jest podzielna przez 13.

5²¹ + 5²² + 5²³ + 5²⁴= 5²¹ + 5²¹*5 + 5²¹*5² + 5²¹*5³= 5²¹*(1 + 5 +25 + 125)= 5²¹* 156= 5*12*13  c.n.w.

Zadanie 6

Wykaż, że liczba:

8¹⁹+5*8¹⁸- 4*8¹⁷ jest podzielna przez 100.

8¹⁹ + 5*8¹⁸ – 4*8¹⁷= 8¹⁷* 8² + 5*8¹⁷*8 – 4*8¹⁷= 8¹⁷*(64 + 40 – 4)= 8¹⁷* 100  c.n.w.

Zadanie 7

<CAB = β

β + 120º = 180º

β = 60º
<CBA = α

α + α +β = 180º

2α + 60º = 180º
2α = 120º

α = 60º
Wszystkie kąty trójkąta mają po 60º, zatem trójkąt jest równoboczny.

c.n.w.

Zadanie 8

Uzasadnij, że jeżeli a+b=1 i a²+b²=7, to a⁴+b⁴=31.

a²+b²=7

(a²+b²)²=7²

a⁴+2a²b²+b⁴=49

a⁴+b⁴=49-2a²b²

a+b=1

(a+b)²=1²

a²+2ab+b²=1

2ab+a²+b²=1

2ab+7=1

2ab=-6

ab=-3

a²b²=9

a⁴+b⁴=49-2·9

a⁴+b⁴=49-18

a⁴+b⁴=31

c.n.w.

Zadanie 9

5.      Udowodnij, że liczba 7⁵⁰−7⁴⁹−2⋅7⁴⁸ jest wielokrotnością 40.

7⁵⁰−7⁴⁹−2⋅7⁴⁸=7⁴⁸⋅7²−7⁴⁸⋅7−7⁴⁸⋅2=7⁴⁸⋅(7²−7−2)=

= 7⁴⁸⋅(49−9)=7⁴⁸⋅40

c.n.w.

Zadanie 10

 ^{Wykaż, że}   3¹⁸-2^{18 jest podzielna przez 19.}

3¹⁸-2¹⁸  =19

3¹⁸-2¹⁸=(3³)⁶-(2³)⁶=27⁶-8⁶=(27³)²-(8³)²=(27³-8³)*(27³+8³)=(27-8)*(27²+27*8+8²)*(27³+8³)=

                                                         =19*(27²+27*8+8²)*(27³+8³)

Zadanie 11

Uzasadnij, że liczba 4¹²+4¹³+4¹⁴ jest podzielna przez 42.

4¹²+4¹³+4¹⁴=4¹¹*(4+4²+4³)=4¹¹*(4+16+64)=4¹¹*84

4¹¹*84,liczba 84 dzielona przez 42 daje nam 2 ,a więc liczba 4¹²+4¹³+4¹⁴ jest podzielna przez 42.

Zadanie 12

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n liczba:

a=100ⁿ + 3⁵ - 9² + 6 jest podzielna przez 4.

a=100ⁿ + 3⁵ - 9² + 6 =100ⁿ+125-81=6=100ⁿ+168

Dwie ostatnie cyfry tworza liczbe 68 podzielna przez 4, zatem liczba a jest podzielna przez 4. - Co należało wykazać

Zadanie13

Która z liczb jest większa:

a=299¹⁹⁷*297¹⁹⁹ czy b=298³⁹⁶?

Odpowiedź uzasadnij.

a = 299¹⁹⁷ * 297¹⁹⁹ = 299¹⁹⁷ * 297¹⁹⁷ * 297²  =(299*297)¹⁹⁷ * 297²= 88803¹⁹⁷ * 297²

b = 298³⁹⁶ = 298^199+197 = 298¹⁹⁹ * 298^{197 =} 298¹⁹⁷ * 298² * 298¹⁹⁷ = (298*298)¹⁹⁷ * 298² = 88804¹⁹⁷ * 298²

 88803¹⁹⁷ < 88804¹⁹⁷

297² < 298²

Odp. Liczba b jest większa od liczby a

Zadanie 14

Wykaż, że liczba:

7¹⁵+7¹⁶+7¹⁷ jest podzielna przez 19

7¹⁵+7¹⁶+7¹⁷=7¹⁵(1+7+7*7)=7¹⁵(1+7+49)=7¹⁵  * 57 = 7¹⁵ * 3 * 19

Odp. Liczba jest podzielna przez 19, bo to jeden z jej czynników

Zadanie15

 Uzasadnij, że liczba 2¹⁰+2¹¹+2¹²+2¹³ jest podzielna przez 3,5,15

2¹⁰+2¹¹+2¹²+2¹³=2¹⁰(1+2+2²+2³)=2¹⁰(1+2+4+8)=2¹⁰ *15

Odp. Liczba jest podzielna przez 15, bo jednym z czynników jest 15.

Zadanie16

Czy liczba 0,08(3) jest liczbą wymierna? Odpowieź uzasadnij.

x=0,08(3)

10x = 0,83(3)

10x-x = 0,83(3) - 0,08(3) = 0,75

9x=0,75

 x= 75/100*9 = 75/900

75/900=1/12

Odp. Liczba 0,08(3) jest liczbą wymierną, ponieważ da się z niej wyciągnać ułamek