Grupa A



Zadanie 1
Uzasadnij, że liczba 215+216+217+218   jest podzielna przez 30.)


Bartek
Uzasadnienie:

 
215+216+217+218  =
215 (1+21+22+23 )=

214  *2 * 15 =215 *30


Po wykonanych krokach otrzymujemy na końcu wyrażenie , które jest podzielne przez 30.
Zadanie 2
Udowodnij, że suma pięciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 5.

Bartosz

n+1+n+2+n+3+n+4+n+5=5n+15

5n:5=n
15:5=3
c.n.w

Odp: Suma 5 kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 5, ponieważ sumę tych liczb można podzielić przez pięć.


Zadanie 3
Wykaż, że jeśli liczba n daje resztę 3 przy dzieleniu przez 5, to liczba n2+1 jest podzielna przez 5.

Emilka

n = 5k + 3


(5k+3)^2 +1 = 25k^2 + 30k +9 + 1 = 25k^2 + 30k + 10 = 5(5k^2+6k+2)  
tak, więc kwadrat liczby n powiększony o 1 jest podzielny przez 5.
Zadanie 4

Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną przez 4.

Zuzia

Dwie kolejne liczby parzyste:
2a
2a + 2

Kwadrat większej liczby odejmujemy od kwadratu mniejszej liczby:
(2a + 2)² – 2a² = 4a² + 8a + 4 - 4a² = 8a + 4 = 4(2a + 1)

Można zauważyć, że jest to liczba podzielna przez 4.

Zadanie5

Udowodnij, że suma kątów przyległych do kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 360 stopni.


 Bartek



Niech α, β i γ będą miarami kątów wewnętrznych trójkąta. Skoro są kątami wewnętrznymi trójkąta to  α+β+γ=180 ͦ.
Kąt przyległy do α ma miarę 180 ͦ-α,
Kąt przyległy do β ma miarę 180 ͦ-β,
Kąt przyległy do γ ma miarę 180 ͦ-γ.
Suma kątów przyległych do kątów wewnętrznych trójkąta jest równa:
180 ͦ- α+ 180 ͦ- β+ 180 ͦ- γ= 540 ͦ- α- β- γ= 540 ͦ- (α+β+γ)= 540 ͦ- 180 ͦ= 360 ͦ co należało wykazać.



Zadanie 2

Dany jest prostokąt ABCD. Uzasadnij, że trójkąty ABC i ABD są przystające.


Emilka


 

I warunek BBB – jest spełniony
|AB|=|BD|   |AB|=|AB|   |CB|=|AD|
II warunek BKB- jest spełniony
|AC|=|BD|  ∡ 90°=∡90° |AB|=|AB|
III warunek KBK- jest spełniony
 ∡α=∡α   |CA|=|BD|  ∡90°=∡90°





Zadanie 3

W trójkącie równoramiennym ABC, w którym IACI=IBCI, poprowadzono wysokość AD. Uzasadnij, że I<)ACDI=2I<)DABI.

 Zuzia


A= <)CAB
B= <)ABC
C= <)BCA
Z= <)DAB
X= <)CAD
D= <)ADB = <)ABC = 90º

A+B+C=180
X+90º+C=180
Z+90º+B=180
A=B
X+Z=A

B+B+C=180 => C=180-2B
2B=180-C |:2
B=90-1/2C
Z+90+(90-1/2C)=180
Z+90+90-1/2C=180
Z=180-90-90+1/2C
Z=1/2C=>C=2Z





Zadanie 4

Kąty pewnego trójkąta mają miary: x, x+36st, 2x. Uzasadnij, że jest to trójkąt równoramienny.


x+36st=2x  /-x

36st=x



2x=36st*2

2x=72st