Grupa A

Zadanie 1

Uzasadnij, że liczba 2¹⁵+2¹⁶+2¹⁷+2¹⁸   jest podzielna przez 30.)

Bartek

Uzasadnienie:

 
2¹⁵+2¹⁶+2¹⁷+2¹⁸  =
2¹⁵ (1+2¹+2²+2^{3 )=
214  *2 * 15 =215 *30}

Po wykonanych krokach otrzymujemy na końcu wyrażenie , które jest podzielne przez 30.

Zadanie 2

Udowodnij, że suma pięciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 5.

Bartosz

n+1+n+2+n+3+n+4+n+5=5n+15

5n:5=n

15:5=3

c.n.w

Odp: Suma 5 kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 5, ponieważ sumę tych liczb można podzielić przez pięć.

Zadanie 3

Wykaż, że jeśli liczba n daje resztę 3 przy dzieleniu przez 5, to liczba n²+1 jest podzielna przez 5.

Emilka

n = 5k + 3

(5k+3)^2 +1 = 25k^2 + 30k +9 + 1 = 25k^2 + 30k + 10 = 5(5k^2+6k+2)  

tak, więc kwadrat liczby n powiększony o 1 jest podzielny przez 5.

Zadanie 4

Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną przez 4.

Zuzia

Dwie kolejne liczby parzyste:

2a

2a + 2

Kwadrat większej liczby odejmujemy od kwadratu mniejszej liczby:

(2a + 2)² – 2a² = 4a² + 8a + 4 - 4a² = 8a + 4 = 4(2a + 1)

Można zauważyć, że jest to liczba podzielna przez 4.

Zadanie5

Udowodnij, że suma kątów przyległych do kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 360 stopni.

 Bartek

Niech α, β i γ będą miarami kątów wewnętrznych trójkąta. Skoro są kątami wewnętrznymi trójkąta to  α+β+γ=180 ͦ.

Kąt przyległy do α ma miarę 180 ͦ-α,
Kąt przyległy do β ma miarę 180 ͦ-β,
Kąt przyległy do γ ma miarę 180 ͦ-γ.

Suma kątów przyległych do kątów wewnętrznych trójkąta jest równa:

180 ͦ- α+ 180 ͦ- β+ 180 ͦ- γ= 540 ͦ- α- β- γ= 540 ͦ- (α+β+γ)= 540 ͦ- 180 ͦ= 360 ͦ co należało wykazać.

Zadanie 2

Dany jest prostokąt ABCD. Uzasadnij, że trójkąty ABC i ABD są przystające.

Emilka

 

I warunek BBB – jest spełniony

|AB|=|BD|   |AB|=|AB|   |CB|=|AD|

II warunek BKB- jest spełniony

|AC|=|BD|  ∡ 90°=∡90° |AB|=|AB|

III warunek KBK- jest spełniony

 ∡α=∡α   |CA|=|BD|  ∡90°=∡90°

Zadanie 3

W trójkącie równoramiennym ABC, w którym IACI=IBCI, poprowadzono wysokość AD. Uzasadnij, że I<)ACDI=2I<)DABI.

 Zuzia

A= <)CAB

B= <)ABC

C= <)BCA

Z= <)DAB

X= <)CAD

D= <)ADB = <)ABC = 90º

A+B+C=180

X+90º+C=180

Z+90º+B=180

A=B

X+Z=A

B+B+C=180 => C=180-2B

2B=180-C |:2

B=90-1/2C

Z+90+(90-1/2C)=180

Z+90+90-1/2C=180

Z=180-90-90+1/2C

Z=1/2C=>C=2Z

Zadanie 4

Kąty pewnego trójkąta mają miary: x, x+36st, 2x. Uzasadnij, że jest to trójkąt równoramienny.

x+36st=2x  /-x

36st=x

2x=36st*2

2x=72st