Zadanie1
Ola
a^2+
b^2=7 | ()^2
(a^2+b^2)^2=7^2
(a^2)^2+2*a^2*b^2+(b^2)^2=49
a^4+2a^2b^2+b^4=49
a^4+2(ab)^2+b^4=49
a+b=1 |()^2
(a+b)^2= 1^2
a^2+2ab+b^2=1
a^2+b^2+2ab=1
7+2ab=1
2ab=1-7
2ab=-6 |
\2
ab=-3
a^4+2(-3)^2+b^4=49
a^4+
2*9+b^4=49
a^4+b^4=49-18
a^4+b^4+31
Zadanie2
Martyna
Wykaż że
jeśli liczba n nie jest podzielna przez 3,to liczba n² daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3.
Martyna
Jeśli liczba nie jest
podzielna przez trzy to jest w postaci
3n+1 lub 3n+2
Podniesiona do kwadratu daje
odpowiednio
(3n+1)²=9n²+6n+1
oraz
(3n+2)²=9n²+12n+4
Te liczby nie są podzielne przez 3
(9n²+6n+1)/3 = 3n²+2n+⅓
(9n²+12n+4)/3=3n²+4n+1+⅓
Widać, że po podzieleniu nie mają
postaci liczby całkowitej, a reszta z dzielenia wynosi 1.
Zadanie 3
Uzasadnij,
że liczba 1+31+32+…+37+38 jest
podzielna przez 13.
Oliwia
(1+3^1+3^2) + (3^3+3^4+3^5) + (3^6+3^7+3^8) = (1+3^1+3^2) +
3^3(1+3^1+3^2) + 3^6(1+3^1+3^2) = (1+3^3+3^6) * (1+3^1+3^2) = (1+3^3+3^6) * 13 c.n.w.
Zadanie 9
Czy
liczba 344+433 jest podzielna przez 5.
Oliwia
Oliwia
Ola
Oliwia
Oliwia
31= 3
1
44:4 = 11
32= 9
2
344= …1
33= 27 3
34= 81 4
35= 243 1
41= 4 1
33:2 = 15r1
42= 16 2
433 = …4
43= 64 1
…1+…4= …5
C.N.W.
Zadanie
5
Udowodnij, że suma kątów przyległych do kątów
wewnętrznych trójkąta wynosi 360 stopni.
Martna
Zadanie
6
Dany jest prostokąt ABCD. Uzasadnij, że trójkąty ABC i
ABD są przystające.
Oliwia
Spostrzeżenie Uzasadnienie
1
|
Kąt DAB i kąt CBA wynoszą 90
|
Kąty w prostokącie wynoszą 90
|
2
|
[DA] i [CB] są takie same oraz równoległe
|
Prostokąt ma dwie pary boków równoległych, tej samej długości
|
3
|
[AB] i [DC] są takie same oraz równoległe
|
Prostokąt ma dwie pary boków równoległych, tej samej długości
|
4
|
Trójkąty ABC i ABD są przystające
|
Wynika z pkt. 1, 2 i 3 oraz cechy przystawania bkb
|
C.N.W.
Zadanie
7
W trójkącie równoramiennym ABC, w którym IACI=IBCI,
poprowadzono wysokość AD. Uzasadnij, że I<)ACDI=2I<)DABI.
Ola
Uzasadnię, że I<)ACDI = 2I<)DABI
Z trójkąta ABD
<)ABD= 180°-<)DAB-90°
<)ABD= 90°-
<)DAB
Z trójkąta ABC
<)ABC=180°- <)ACD :2
90°- <)DAB= 180°-
<)ACD :2 I *2
180°- 2<)DAB= 180°-
<)ACD
180°-180°-2<)DAB= - <)ACD
-2<)DAB= -<)ACD
2<)DAB= -<)ACD C.N.W.
Zadanie
8
Kąty pewnego trójkąta mają miary: x, x+36st, 2x.
Uzasadnij, że jest to trójkąt równoramienny.
Oliwia
Kąty pewnego trójkąta mają miary: x, x+36st, 2x.
Uzasadnij, że jest to trójkąt równoramienny.
x+x+36st+2x=180st
|-36st
4x=144st
|:4
x=36st
Miary kątów trójkąta równoramienneg przy podstawie są
równe.
Miary tego trójkąta wynoszą: 36st, 72st (x+36st, czyli
36st+36st) i 72st (2x, czyli 2*36st) c.n.w